To jest artykuł z cyklu Matematyka Inflacji.
Jeżeli znam łączną inflację za okres n-lat
Dane: Do obliczenia średniorocznej inflacji potrzebna jest łączna inflacja za okres kilku lat.
Uwaga: Nie można podzielić łącznej inflacji 10-letniej przez 10 aby otrzymać średnioroczną inflację!
Jak to policzyć? Nie da się tego policzyć w pamięci 🙂 Wzór wygląda na skomplikowany.
Wzór na średnioroczna inflację z n lat gdy znamy łączną inflację w n lat (to pierwiastek n-tego stopnia…)
Pierwiastkowania często się boimy. Na szczęście pamiętamy ze szkoły że pierwiastkowanie jest odwrotnością potęgowania. Tym samym ten sam wzór możemy zapisać w formie potęgi (przy czym będzie to potęga ułamkowa 1/n).
Wzory związane z inflacją często określam wzorami 'jedynkowymi’ ponieważ występuje w nich wiele jedynek 🙂
Potęgowanie łatwiej wpisać w kalkulator czy też w Excela (znak potęgi w formułach w Excelu to '^’). Stąd ja wolę to przekształcenie potęgowe.
Przykładowe obliczenia:
- Inflacja w 10 lat wyniosła 50%.
- Jaka była średnioroczna inflacja?
Liczymy:
- liczba lat: n=10
Jak widać nie jest to proste dzielenie 50% na 10 lat = 5% 🙂 To taka magia procentów…
Jak to zrobić w Excelu
To akurat proste. Używamy prostego wzoru i funkcji potęgowania w Excelu (znaczek ’^’).
A co gdy zamiast łącznej inflacji mam dane o inflacji za poszczególne lata?
Przykładowo jaka jest inflacja średnioroczna dla poniższych danych:
- Dane: Rok 1: inflacja 5%, Rok 2: inflacja 10%, Rok 3: 8%, Rok 4: 2,5%, Rok 5: 4,2%.
To proste:
- Krok 1. Liczymy skumulowaną inflację za okres n lat (tutaj 5-ciu).
- Instrukcje jak policzyć inflację łączną znajdziesz na tej stronie.
- Krok 2. Używamy wzoru na inflację średnioroczną.
Czyli w aktualnym przykładzie:
- inflacja_w_n_lat=(1+5%)*(1+10%)*(1+8%)*(1+2,5%)*(1+4,2%)-1
- inflacja_w_n_lat=1,05*1,1*1,08*1,025*1,042-1=0,332286 czyli około 33,2%
Podstawiamy do wzoru:
Oczywiście już wiesz że 5,906% to poprawny wynik. Na pewno poprawnym nie jest średnia z rocznych inflacji, czyli (5+10+8+2,5+4,2)/5=5,94.
Skoro o wzorach mowa…
To nic nie stoi na przeszkodzie aby oba kroki (Krok 1 i Krok 2 z poprzedniego rozdziału) połączyć w jeden wzór (korzystając ze wzoru z artykułu o liczeniu inflacji łącznej).
Prawda że piękny? I ile ma jedynek w sobie:)
Czy liczenie zwykłej średniej arytmetycznej nie daje wyników zbliżonych do tego skomplikowanego wzoru?
Jeżeli znamy dane o inflacji rocznej za poszczególne lata i chcemy wyliczyć inflację średnioroczną to licząc poprawnie (czyli powyższym wzorem) wynik będzie się różnił od zwykłej średniej arytmetycznej.
Warto zauważyć:
- jeżeli roczne wartości inflacji nie są duże (do kilkunastu procent) i czas analizy jest krótszy niż 20-30 lat to wyniki mogą być zbliżone (różnice będą niewielkie)
- jeżeli jednak w badanych danych pojawiają się jakieś wyjątkowo duże rozbieżności, jakieś lata z hiperinflacją – to już różnice będą istotne.
Przykład – czysto teoretyczny, dla zobrazowania tej matematycznej ciekawostki:
Dla takich danych łączna inflacja w 10 lat to 725,9%. Co daje (licząc poprawnie procentem składanym) inflację średnioroczną: 23,51%.
Podczas gdy zwykła średnia arytmetyczna rocznych inflacji daje 270/10 czyli 27,5%. Czyli wyraźnie większą.
Podsumowując:
- przy krótkich okresach czasu i niskiej inflacji można użyć średniej arytmetycznej jako uproszczenia
- ale mając pod ręką proste narzędzia (jak Excel) policzenie w pełni poprawnej wartości nie stanowi przecież wielkiego problemu…
Potrzebujesz gotowych danych w formie arkusza Excel (i przykłady obliczeń)?
Zapisz się na listę informacyjną
